张量积的存在性

Written by: algebnaly

Date: 2025-11-12T02:42:47.000Z

介绍

如何使用两个（定义在同一个域F\mathbb{F}上）向量空间V,WV,W得到第三个向量空间?

可以使用笛卡尔积V×WV \times W。

此外还可以使用张量积V⊗WV \otimes W。

定义张量积

两个向量空间V,WV,W的张量积是一个向量空间V⊗WV \otimes W且带有一个双线性映射

τ:V×W→V⊗W \tau: V \times W \rightarrow V\otimes W

使得对于任意双线性映射

B:V×W→UB: V \times W \rightarrow U

存在唯一的线性映射

B~:V⊗W→U \tilde B: V \otimes W \rightarrow U

使得如下的图交换

V×W→τV⊗WB↓B~↓U=U\begin{CD} V \times W @>\tau>> V \otimes W \\ @VBV V @V\tilde BVV \\ U @= U \end{CD}

证明张量积的存在性

我们需要证明对于任意两个向量空间V,WV,W都能定义一个上述的张量积V⊗WV \otimes W。

我们首先构造一个自由向量空间F(V×W)F(V \times W)。

这个自由向量空间的元素长这样(v,w)(v, w)。

接着，我们在这个自由向量空间上商去一些等价关系来得到目标的张量积，有哪些等价关系需要商去呢？ 首先我们有

λ(v,w)=(λv,w)\lambda (v, w)=(\lambda v, w)

与

λ(v,w)=(v,λw)\lambda (v, w)=(v, \lambda w)

以及

(v1,w)+(v2,w)=(v1+v2,w)(v_1, w) + (v_2, w)=(v_1 + v_2, w)

与

(v,w1)+(v,w2)=(v,w1+w2)(v, w_1) + (v, w_2)=(v,w_1 + w_2)

由于我对自由向量空间不太熟悉，所有我在这里把商去几个等价关系是什么意思说明一下，我便我以后回顾。 商空间的定义就是一个向量空间