inductive set

这篇博客是关于inductive set的笔记。

inductive set为自然数提供了一个模型。

inductive set的定义如下:

定义: inductive set

$N$是一个集合，且其元素也为集合，$\emptyset \in N$, 且对于所有的$m \in N$蕴含着$m \cup \{m\} \in N$.那么$N$被称为inductive set

通过Infinity Axiom 规定了存在一个inductive set.

公理: Infinity Axiom 存在一个inductive set。

接着我们可以证明存在一个最小的inductive set。

定理: 存在最小的inductive set 存在一个inductive set $N_0$,它满足如下性质: 如果$N$是inductive set, 那么$N_0 \subseteq N$。

证明

首先, Infinity Axiom告诉我们存在一个inductive set, 我们令该集合为$N$, 我们再定义集合:

我们需要证明$N_1$即为最小的inductive set。 首先证明$N_1$是inductive set。这不难, 首先$N_1$是inductive set的交集, 因此空集属于$N_1$。如果$m\in N_1$, 那么对于所有的$a \in A$, $m \in a$, 这是因为$N_1$是这些$a$的交集。因为$a$是inductive set, 于是$m \cup \{m\} \in a$, 因此$m \cup \{m\} \in N_1$。于是$N_1$是inductive set。

现在考虑一个任意的inductive set $N^\prime$, 我们需要证明$N_1 \subseteq N^\prime$.令$N^\prime_0:=N^\prime \cap N$,两个inductive set的交集是inductive set，证明方法和上一段的做法是一样的。于是$N^\prime_0$同时是$N^\prime$和$N$的子集，且$N^\prime_0$自身也是inductive set。因为$N^\prime_0$是$N$的子集, 于是$N^\prime_0 \in A$, 于是$N_1 \subseteq N^\prime_0$, 这是因为$N_1$是$A$中所有元素的交集。我们有$N^\prime_0 \subseteq N^\prime$, 于是$N_1 \subseteq N^\prime$。命题得证。