科里奥利力简介

假定有一个无穷大的圆盘, 角速度向量为 $𝝎$。

现在我们考虑在圆盘的局部坐标系上, 沿直线匀速运动的质点, 为了保持匀速直线运动所需要施加的力。利用牛顿第二定律, 我们只需要观察这个质点在惯性坐标系下的加速度就能得到这个力的大小。

要计算这个加速度, 我们可以观察这个质点的惯性坐标系下的速度的变化情况。

我们使用黑色粗体表示向量, 用正常字体表示标量。

不妨设质点在圆盘的局部坐标下的速度向量为 $𝑽$

假定在某个时刻 ${𝑡}_0$, 质点与圆心的位移向量为 $𝒓$.

$$𝒓=\left(\begin{array}{c}𝑟\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$

我们可以把质点的运动方向分解成延 ${𝑡}_0$ 时刻的位移向量方向的分量 $𝑯$ 与垂直于位移向量方向的 $𝑻$ 的分量。

于是, 在惯性坐标系下, 质点的速度为 $𝝎\times 𝒓+𝑯+𝑻$

经过了时间 $𝑡$ 后, 圆心到质点的位移向量是 ${𝒓}_{\mathrm{𝟏}}^{\prime }$

在惯性坐标系下, 质点的速度为 $𝝎\times {𝒓}_{\mathrm{𝟏}}^{\prime }+{𝑽}^{\prime }$

我们要计算加速度, 就是要计算这两个速度之差, 然后让 $𝑡$ 趋近于0, 求极限:

$$\underset{𝑡\to 0}{lim}\frac{𝝎\times {𝒓}_{\mathrm{𝟏}}^{\prime }+{𝑽}^{\prime }-\left(𝝎\times 𝒓+𝑽\right)}{𝑡}=\underset{𝑡\to 0}{lim}\frac{{𝑽}^{\prime }-𝑽}{𝑡}+\underset{𝑡\to 0}{lim}\frac{𝝎\times \left({𝒓}_{\mathrm{𝟏}}^{\prime }-𝒓\right)}{𝑡}$$

可以看到, 等式右边的第一部分

$$\underset{𝑡\to 0}{lim}\frac{{𝑽}^{\prime }-𝑽}{𝑡}$$

实际上就是对 ${𝑽}^{\prime }$ 在 $𝑡=0$ 处求导.

我们使用向量形式写出 $𝑽$:

$$𝑽=\left(\begin{array}{c}𝐻\\ 𝑇\\ 0\end{array}\right)$$

则利用旋转矩阵, 我们可以写出 ${𝑽}^{\prime }$:

$${𝑽}^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}cos\left(𝜔𝑡\right)& -sin\left(𝜔𝑡\right)& 0\\ sin\left(𝜔𝑡\right)& cos\left(𝜔𝑡\right)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}𝐻\\ 𝑇\\ 0\end{array}\right)$$

于是对 ${𝑽}^{\prime }$ 就得到等式右边的第一部分:

$$\underset{𝑡\to 0}{lim}\frac{{𝑽}^{\prime }-𝑽}{𝑡}={\frac{𝑑}{𝑑𝑡}\left(\begin{array}{ccc}cos\left(𝜔𝑡\right)& -sin\left(𝜔𝑡\right)& 0\\ sin\left(𝜔𝑡\right)& cos\left(𝜔𝑡\right)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}𝐻\\ 𝑇\\ 0\end{array}\right)|}_{𝑡=0}=\left(\begin{array}{c}-𝜔𝑇\\ 𝜔𝐻\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 𝜔\end{array}\right)\times 𝑽=𝝎\times 𝑽$$

现在来计算第二部分, 在 $𝑡$ 时刻有:

$${𝒓}^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}cos\left(𝜔𝑡\right)& -sin\left(𝜔𝑡\right)& 0\\ sin\left(𝜔𝑡\right)& cos\left(𝜔𝑡\right)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}𝑟+𝑡𝐻\\ 𝑡𝑇\\ 0\end{array}\right)$$

要理解上面的等式的意义, 可以在圆盘的本地坐标看, 质点不过是在本地坐标系上做匀速直线运动, 转换到惯性坐标系下只需要把旋转考虑进去, 也就是说在局部坐标的基础上乘以一个旋转矩阵。

于是, 我们有

$$\underset{𝑡\to 0}{lim}\frac{{𝒓}^{\prime }-𝒓}{𝑡}=\frac{𝑑{𝒓}^{\prime }}{𝑑𝑡}=\left(\begin{array}{c}𝐻\\ 𝑇+𝜔𝑟\\ 0\end{array}\right)$$

于是

$$\begin{array}{cc}\underset{𝑡\to 0}{lim}𝝎\times \frac{{𝒓}^{\prime }-𝒓}{𝑡}& =\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 𝜔\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}𝐻\\ 𝑇+𝜔𝑟\\ 0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 𝜔\end{array}\right)\times \left(𝑽+𝜔𝑟\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)\right)\\ & =𝝎\times 𝑽+\left(\begin{array}{c}-{𝜔}^2𝑟\\ 0\\ 0\end{array}\right)\\ & =𝝎\times 𝑽-{𝜔}^2𝒓\end{array}$$

于是, 我们有总的加速度为

$$𝒂=2𝝎\times 𝑽-{𝜔}^2𝒓$$

注意到 $-{𝜔}^2𝒓$ 实际上就是质点在 $𝒓$ 处的向心加速度, 于是剩下的 $2𝝎\times 𝑽$ 就是科里奥利加速度。 再由牛顿第二定律, 乘以质点的质量 $𝑚$ 得到 $2𝑚𝝎\times 𝑽$, 这就是所谓的科里奥利力。